Exercice Problème
 
Cours Ecrit (≈ CCP) (≈ Mines/Centrale) (≈ X/ENS) Astucieux et difficile Problème ouvert
 
♥ À savoir   ♣ Intéressant   ? Indication   [⇔] Exercices liés

Sélection aléatoire

Soit $g:\R\ra\R$ une fonction continue. Montrer qu'il existe au plus une application bornée $y:\R\ra\R$ telle que $y' - y = g$.

Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe $(p,q)\in\N^2$ tels que $n=2^p(2q+1)$.

Montrer que l'application $\fndef{\N^2}{\N}{(p,q)}{\frac{(p+q)(p+q+1)}{2}+p}$ est bijective.

[⇔]

On considère $A = \{\frac{nm}{n^2+m^2}, n,m \in \N^*\}$.

  1. Montrer que $\forall x,y\in\R, 2xy \leq x^2+y^2$.
  2. Déterminer $\sup A,\inf A$. L'ensemble $A$ admet-il un maximum, un minimum ?

Soit $\theta \not\equiv 0[\pi]$. On considère la suite $\sin (n\theta)$. Montrer que si elle converge, il en va de même de la suite $\cos (n\theta)$. En déduire qu'elle diverge.

Montrer que $\sum_{k=0}^n {n-k \choose k} = f_{n+1}$, où $f_n$ est la suite de Fibonacci définie par $f_1=f_2 = 1$ et $f_{n+2} = f_{n+1}+f_n$.

Déterminer les nombres complexes de module $1$ tels que $z^{6!}-z^{5!}$ soit réel

♣ Décomposition de Dunford ? [⇔]
Considérer $u_{|F_i}$.

Soit $u$ un endomorphisme de polynôme minimal scindé $\mu_u= \prod (X- \lambda_i)^{\alpha_i}$.

    On appelle sous-espaces caractéristiques de $u$ les espaces $F_i= \text{Ker}(u-\lambda_i \text{Id})^{\alpha_i}$.
  1. Montrer à l'aide de ces derniers que l'on peut écrire $u=d+n$ où $d$ est diagonalisable, $n$ est nilpotent, $d$ et $n$ commutent.
  2. Montrer que cette écriture est unique.
  3. Montrer que $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$.

Caractérisation des normes euclidiennes

Soit $(E,||\cdot ||)$ un espace vectoriel normé. Montrer que cette norme provient d'un produit scalaire si et seulement si on a l'identité $$\forall x,y \in E,\,\, ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2).$$

[X 2018] [⇔]

Soit $f:\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$, strictement positive et telle que $f''$ soit bornée. Montrer qu'il existe $C\gt 0$ indépendante de $f$ telle que pour tout $x\in\R$, $f'(x)^2\leq Cf(x) \norm{f''}_\i$.