Exercice Problème
 
Cours Ecrit (≈ CCP) (≈ Mines/Centrale) (≈ X/ENS) Astucieux et difficile Problème ouvert
 
♥ À savoir   ♣ Intéressant   ? Indication   [⇔] Exercices liés

Sélection aléatoire

Soit $A =\{(x,y)\in\R^2, 4x -y = 1\}$ et $B = \{(t+1, 4t+3), t\in\R\}$. Montrer que $A=B$.

[⇔]

Soit $E$ un ensemble et $A \subset E$. Montrer que l'application $f:\fndef{\mc P(E)}{\mc P(A) \times \mc P(\ol{A})}{X}{(X \cap A, X\cap \ol{A})}$ est bijective et donner sa bijection réciproque.

?
si on note $u$ et $-u$ les racines carrées de $\Delta$, interpréter l'orthogonalité de $\a$ et $u$.

Soient $\a,\b\in\C$. Montrer que les racines complexes du polynôme $P = X^2+ \a X +\b$ sont de même module si et seulement si $\a^2$ et $\b$ sont colinéaires de même sens et $4|\b|\geq |\a|^2$.

Soit $u$ une suite réelle vérifiant $\lim{u_{n+1}-u_n}=0$

  1. Montrer que l'ensemble de ses valeurs d'adhérence est un intervalle.
  2. Montrer que l'ensemble des $\sin{\ln{n}}$ est dense dans $[-1,1]$. Que dire de la suite $n^{1/3}\cos{\pi \sqrt{n}}$ ?

Soit $P=\{z\in\C,\op{Im} (z) >0\}$ et $D = \{z\in\C, |z|<1\}$.

  1. Montrer que l'application $z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$ réalise une bijection de $P$ sur $D$.
  2. Soient $a,b,c,d\in\R$ vérifiant $ad-bc=1$. Montrer que l'application $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ réalise une bijection de $P$ sur $P$.

Soient $x_1,\dots,x_n$ des réels distincts, ainsi que $a_1,\dots,a_n$ et $b_1,\dots,b_n$ des réels.

  1. Montrer qu'il existe un unique polynôme de $\R_{2n-1}[X]$ tel que $\forall 1\leq i\leq n,\, P(x_i) =a_i\et P'(x_i) = b_i$.
  2. Décrire l'ensemble des polynômes de $\R[X]$ vérifiant $\forall 1\leq i\leq n,\, P(x_i) =a_i\et P'(x_i) = b_i$.

Soit $f$ une application continue de $[0,1]$ dans $[0,1]$ tel que $f(0)=0$ et $\forall x, \exists n(x)\in\N^*, f^{(n(x))}(x)=x$. Montrer que $f$ est bijective. En déduire que $f$ est égale à $Id_{[0,1]}$.

Soient $A,B\in\mc M_n(\R)$. On considère l'application $\phi:t\mapsto e^{tA}e^{tB}e^{-t(A+B)}$.

  1. Montrer que $$\phi'(t) = e^{tA}(A-e^{tB}Ae^{-tB})e^{-tA} \phi(t).$$
  2. On note $[A,B] = AB-BA$ et on suppose que $[A,[A,B]] = [B,[A,B]] = 0$. Montrer que $$A-e^{tB}Ae^{-tB} = t [A,B].$$
  3. En déduire que si $[A,[A,B]] = [B,[A,B]] = 0$, on a $$e^{A}e^{B} = e^{A+B + \frac{1}{2} [A,B]}.$$

?
Montrer que $f$ est injective.

Déterminer les fonctions $f:\R\ra\R$ vérifiant $$\forall x,y\in\R, f(f(x)^2+f(y))=xf(x)+y.$$