Exercice Problème
 
Cours Ecrit (≈ CCP) (≈ Mines/Centrale) (≈ X/ENS) Astucieux et difficile Problème ouvert
 
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Sélection aléatoire

Soit $f$ une fonction $\mc C^2$ sur $\R$. On définit la fonction $g$ par $g(0)=f'(0)$ et $g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x}$ si $x\neq 0$.

  1. Montrer que $g$ est continue.
  2. Montrer que $g$ est $\mc C^1$ sur $\R^*$ et que pour $x\neq 0$, $g'(x)=\frac{f''(0)}{2} +o_0(1)$.
  3. Montrer que $g$ est $\mc C^1$ sur $\R$.

Théorème de Wilson ?
Si $n$ est premier, chercher à regrouper les termes du produit deux-à-deux.

Montrer que $n$ est premier si et seulement si $(n-1)! \equiv -1 [n]$.

[MPSI]

Montrer que la famille $(x\mapsto |x-\a|)_{\a\in\R}$ est libre.

Soit $M = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1\end{pmatrix}$. Déterminer le rang de $M$, ainsi que des bases de l'image et du noyau de $M$.

Calculer $$\lim_{n\ra +\i} \int_0^{+\i} (x^{2n} + x^n + 1)^{-\frac{1}{n}}dx.$$

?
Utiliser la formule du déterminant de Vandermonde.

Soit $N\in\N^*$. Calculer le déterminant de la matrice $M=\left(e^{\frac{2i(k-1)(\l-1)\pi}{N}}\right)_{1\leq k,\l \leq N}$.

Soit $E$ un espace vectoriel et $u,v\in \mathcal{L}(E)$ qui commute et tels que $\text{Ker}u\cap\text{Ker}v=\{0\}$.

  1. Soit $a\neq b$, montrer que $\text{Ker}(u+av)\oplus\text{Ker}(u+bv)$.
  2. Soit $a_1,...,a_p$ distincts deux-à-deux, montrer que les $\text{Ker}(u+a_iv)$ sont en somme directe.

?
Commencez par le cas $k=2$

Déterminer les entiers $k$ tels que la série $\sum \frac{1}{\binom{n+k}{n}}$ converge et trouver sa somme.

Soit $f$ une fonction continue sur $[\frac{-1}{2}, \frac{3}{2}]$, montrer que $$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} x f(3x^2 - 2x^3)dx = 2\int_0^1 x f(3x^2 - 2x^3)dx.$$

?
Poser $a_n = x_n + \frac{1}{x_n}$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite croissante d'entiers positifs telle que $a 0 = a_1 = 47$ et $a_{n-1}^2 + a_n^2 + a_{n+1}^2 - a_{n-1}a_na_{n+1} = 4$ pour tout $n\geq 1$. Montrer que $2+a_n$ et $2 + \sqrt{2+a_n}$ sont des carrés parfaits pour tout $n\geq 0$.