Exercice Problème
 
Cours Ecrit (≈ CCP) (≈ Mines/Centrale) (≈ X/ENS) Astucieux et difficile Problème ouvert
 
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Sélection aléatoire

Pour $p,q\in\N^*$, calculer $\int_0^{2\pi} \cos (pt) \cos (qt) dt$.

Soit $f:[a,b]\ra\R$ une fonction continue, et $x_1,...,x_n\in [a,b]$. Montrer qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $$\sum_{i=1}^n f(x_i) = \frac{n(n+1)}{2} f(c).$$

Soit $f:\N\ra\N$ une fonction injective vérifiant $\forall n\in\N, f(n)\leq n$. Montrer que $\forall n\in\N, f(n)= n$.

[⇔]

Soit $\lambda \in \mathbb{C},\,\phi\,:\,\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ $T$-périodique. Montrer que $y$ est solution $T$-périodique de $y'+\lambda y = \phi(x)$ si et seulement si $y(0)=y(T)$.

  1. Soit $U_9$ l'ensemble des racines $9$-ième de l'unité. Quel est le nombre de façon de colorier $U_9$ de sorte qu'un seul élément soit de couleur rouge, trois de couleur verte et cinq de couleur bleue.
  2. Quel est le nombre de colliers différents de neuf perles dont l'une est de couleur rouge, trois de couleur verte et cinq de couleur bleue.
  3. Quel est le nombre de colliers différents de neuf perles dont l'une est de couleur rouge, quatre de couleur verte et quatre de couleur bleue.

Déterminer les $\a\in\R$ tels que la fonction $x\mapsto x^\a \floor{\frac{1}{x}}$ définie sur $\R^*_+$ admettent des limites finies en $+\i$ et $0$.

Soit $u_n$ la suite définie par $u_0 \in ]0,1[$ et $u_{n+1}=\frac{1+u_n^2}{2}$.

  1. Montrer que la suite $u_n$ converge vers une limite $l$.
  2. Déterminer la limite de $\frac{1}{u_{n+1} - l}-\frac{1}{u_{n} - l}$.
  3. En utilisant le théorème de Césaro, déterminer un équivalent de $u_n-l$.

[⇔]

Soit $ABCD$ un quadrilatère. Sur chaque côté, on considère le triangle isocèle rectangle extérieur à ce côté. Montrer que les diagonales du quadrilatère formé par les sommets extérieurs de ces triangles sont orthogonales et de même longueur.

Soient $y,z,p,q$ vérifiant $q<0$, $y''+py'+qy \leq z''+pz'+qz$, $y(a)\leq z(a)$ et $y'(a)\lt z'(a)$. Montrer que pour tout $x \gt a,\,y(x) \lt z(x)$.

Des individus numérotés de $1$ à $n$ s'installent autour d'une table circulaire, dont les $n$ places sont également numérotées de $1$ à $n$. Existe-t-il une permutation circulaire des individus telle qu'aucune personne ne soit assisse à la place de même numéro ?